Reseñas realizadas por los integrantes del grupo
Las Matemáticas en la Antigüedad
El estudio de las matemáticas ha sido siempre de gran importancia para el progreso humano, gracias al conocimiento matemático el hombre adquirió una dimensión de un ser pensante y poseedor de ideas abstractas. Si se habla de matemática es de anotar que es una de las ciencias más antiguas, cuyas ideas de número y forma surgieron en las civilizaciones más antiguas de las que se tenga registro. En cada época, la matemática ayudó a consolidar la base de los conocimientos surgidos en la mente del ser humano, y debido a su exactitud, esta disciplina se encuentra en la cima del conocimiento del hombre.
Las matemáticas surgen en las ciencias naturales como resultado de la aplicación de las teorías matemáticas existentes a problemas prácticos y de la elaboración de nuevos métodos para su solución. Conforme la tecnología progresó se dieron nuevas posibilidades para resolver problemas complicados, como es el caso del surgimiento del computador a mediados del siglo XX. El proceso de creación de ideas y métodos matemáticos para la solución de problemas, inicia probablemente en tiempos remotos, cuando el hombre comenzó a usar instrumentos para conseguir medios de supervivencia.
Este período termina con el surgimiento de formas cualitativamente nuevas del pensamiento matemático, lo suficientemente maduras para construir modelos primarios de teorías matemáticas; lo cual sucede alrededor de los siglos VI-V a.C. en la Cultura Griega. Los datos materiales que se tienen de la antigüedad son escasos y se encuentran en proceso de enriquecimiento conforme se hagan nuevos descubrimientos. La historia de la matemática está grandemente relacionada con la historia de la humanidad. Las ideas primarias de forma, figura, área, entre otras, surgieron en el contacto del hombre con la naturaleza y se perfeccionaron con el transcurso de los siglos. De acuerdo a investigaciones, hacia el año 40,000 a.C., época del hombre de Neandertal, el hombre comenzó al poco tiempo de aquel entonces a usar un lenguaje con vestigios de un sistema numérico, así como se hicieron construcciones donde aparecen ciertas relaciones geométricas.
El hombre primitivo al observar su entorno fue concibiendo la idea de número, incluso antes de idear un lenguaje que le permitiera comunicarse. Probablemente fue distinguiendo una sensación cuantitativa al observar un árbol y al observar tres árboles; en su cuerpo pudo ir concibiendo la noción de número al observar los dedos de las manos y pies. El nacimiento de las civilizaciones antiguas se produce con la llegada de la Edad de los Metales, y surgen a orillas de los grandes ríos como el Éufrates, el Tigris, el Nilo y otros en India y China. En las culturas surgidas en las regiones geográficas mencionadas, la matemática había evolucionado lo suficiente para poder ser aplicada a situaciones concretas. Los babilonios y los egipcios tuvieron conocimientos avanzados para realizar trabajos de ingeniería que aún en la actualidad maravillan. De hecho, las matemáticas surgen en la mente humana, por ejemplo, la abstracción del número 1 llevó mucho tiempo al hombre.
La historia de la Matemática cuenta con períodos gloriosos en que la humanidad logró conquistas intelectuales y materiales de altísimo nivel. Ya se ha mencionado a la cultura griega de los siglos VI a III A.C. Otro periodo fue lo obtenido en los siglos XVII y XVIII con la creación de la geometría analítica y el cálculo. Según el matemático ruso A.N. Kolmogórov, en la historia de las matemáticas se distinguen los siguientes períodos.
Periodo que inicia en la civilización primitiva y se prolonga hasta los siglos VI y V antes de Cristo. Comprende la etapa de formación de las ideas más primitivas de número y forma hasta el momento en que la matemática adquiere cierta independencia, con objetivos y métodos propios. En esta etapa se formaron la aritmética y la geometría, que estaban altamente relacionadas. La matemática era una colección de reglas aisladas que provenían de la experiencia con el medio ambiente; no existía un sistema organizado ni unificado. Pertenecen a este periodo las culturas egipcia y babilónica.
Las matemáticas empezaron con los números, y los números siguen siendo cruciales, incluso si la disciplina ya no se centra solo en cálculos numéricos. Sobre la base de los números, las matemáticas han construido conceptos más sofisticados, desarrollándose hasta construir un área muy amplia y variada del pensamiento humano. En la actualidad, las matemáticas se enfocan más en estructuras, pautas y formas que de los propios números (Stewart, 2007, p.6).
Durante muchos miles de años, matemáticos de distintas culturas han creado una gran superestructura cimentada en los números: geometría, cálculo infinitesimal, dinámica, probabilidad, topología, caos, complejidad, entre otros. Muchos afirman que la disciplina se divide incluso en áreas mayores. En la actualidad, los matemáticos han investigado en los fundamentos lógicos de su disciplina, y han descubierto conceptos aún más esenciales que los números: lógica matemática, teoría de conjuntos, pero partiendo del concepto de número. Los números cuentan cosas, pero no son cosas; denotan símbolos, pero no son símbolos. Diferentes culturas usan diferentes símbolos para el mismo número (Stewart, 2007, p. 6-7).
La historia de las matemáticas empieza con la invención de símbolos escritos para denotar números. El familiar sistema de «dígitos» 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, para representar todos los números imaginables, por grandes que sean, es una invención relativamente reciente; nació hace unos 1.500 años, y su extensión a los «decimales», que permite representar números con alta precisión, no tiene más de 450 años. Los computadores, que introdujeron los cálculos matemáticos en la cultura, llevan existiendo tan sólo unos 50 años (Stewart, 2007, p. 6-7).
Sin números, la civilización tal como ahora se conoce no podría existir. En lugar de símbolos numerales, en la prehistoria, los contables utilizaban pequeñas fichas de arcilla. Unas eran conos, otras eran esferas y otras tenían forma de huevos. Había cilindros, discos y pirámides. La arqueóloga Denise Schhmandt-Besserat dedujo que estas fichas representaban productos básicos de la época. Las esferas de arcilla representaban fanegas de grano, los cilindros representaban animales, los huevos jarras de aceite. Las fichas más antiguas datan del 8.000 a.C. y fueron de uso común durante 5.000 años. El hueso de Ishango, con las pautas de marcas y los números que pueden representar Con el paso del tiempo, las fichas se hicieron más elaboradas y más especializadas. Un primer paso vital en el camino hacia los símbolos numerales, la aritmética y las matemáticas. Pero ese paso inicial fue bastante extraño, y parece dado por accidente. (Stewart, 2007, p. 6-9).
Las fichas tenían la ventaja de que los contables podían ordenarlas rápidamente para calcular cuántos animales o cuánto grano poseía o debía alguien. El inconveniente era que las fichas podían ser falsificadas. Así que para asegurar que nadie interfería en las cuentas, los contables guardaban las fichas en recipientes de arcilla, como si estuvieran precintadas. Podían descubrir rápidamente cuántas fichas, y de qué tipo, había dentro de un recipiente dado rompiéndolo. Siempre podían hacer un nuevo recipiente para un almacenamiento posterior (Stewart, 2007, p. 6-9). Sin embargo, romper repetidamente un recipiente y renovarlo era una forma muy poco eficaz de descubrir lo que había dentro, y los burócratas de la antigua Mesopotamia pensaron algo mejor. Inscribieron símbolos en el recipiente que hacían una lista de las fichas que contenía. Si había dentro siete esferas, los contables dibujaban siete esferas en la arcilla húmeda de la vasija. En algún momento los burócratas mesopotámicos se dieron cuenta de que, una vez que habían dibujado los símbolos en el exterior del recipiente, ya no necesitaban los contenidos, y ya no tenían que romper el recipiente para ver qué fichas había dentro. (Stewart, 2007, p. 8-9). Este paso obvio pero crucial dio lugar a un conjunto de símbolos numerales escritos, con diferentes formas para diferentes clases de bienes. Todos los demás símbolos numerales, incluidos los que hoy se utilizan, son los descendientes intelectuales de este antiguo artificio burocrático. De hecho, es posible que la sustitución de fichas por símbolos haya constituido también el nacimiento de la propia escritura (Stewart, 2007, p. 10).
Las marcas de arcilla no eran ni mucho menos los más antiguos ejemplos de escritura numeral, pero todos los ejemplos anteriores son poco más que rayas, «marcas de cuenta», que registran números como una serie de trazos (Stewart, 2007, p. 10). Las marcas más viejas conocidas de este tipo, 29 muescas grabadas en un hueso de pata de babuino, tienen unos 37.000 años. A falta de una máquina del tiempo, no hay modo de saber lo que representan las marcas, pero es posible hacer conjeturas informadas. Un mes lunar tiene 28 días, de modo es posible que las muescas estén relacionadas con las fases de la Luna. Otra antigua inscripción matemática, es el hueso de Ishango en Zaire, tiene 25.000 años (estimaciones previas de 6.000-9.000 años fueron revisadas en 1995). A primera vista las marcas a lo largo del borde del hueso parecen hechas casi al azar, pero quizá haya pautas ocultas. Una fila contiene los números primos entre 10 y 20, a saber, 11, 13, 17 y 19, cuya suma es 60 (Stewart, 2007, p. 10).
Los símbolos 1, 2, 3 se derivan, respectivamente, de un solo trazo, dos trazos horizontales unidos por una línea inclinada, y tres trazos horizontales unidos por una línea inclinada. Las marcas se convierten en numerales. El camino histórico desde las fichas de los contables a los numerales modernos es largo e indirecto (Stewart, 2007, p. 9-10). Con el paso de los milenios, los pueblos de Mesopotamia desarrollaron la agricultura, y su forma de vida nómada dio paso a un asentamiento permanente en una serie de ciudades-estado: Babilonia, Erido, entre otros. Los primitivos símbolos inscritos en tablillas de arcilla húmeda se transformaron en pictogramas (símbolos que representan palabras mediante imágenes simplificadas de lo que las palabras significan) y posteriormente los pictogramas se simplificaron y quedaron reducidos a un pequeño número de marcas con forma de cuña, que se imprimían en la arcilla utilizando un estilete seco con un extremo plano y afilado. Hacia el 3.000 a.C. los sumerios habían desarrollado una elaborada forma de escritura, ahora llamada cuneiforme: «en forma de cuña». (Stewart, 2007, p. 10-11).
Inicia entre los siglos VI y V A.C., con Tales de Mileto y Pitágoras, cuando la matemática pasa de ser un conocimiento solo al servicio de aplicaciones inmediatas, en donde existían resultados teóricos aislados y recetas numéricas, para posteriormente constituirse en una ciencia altamente intelectual. De hecho, los trabajos matemáticos de Arquímedes y de Apolonio son de alta profundidad matemática. Sin embargo, esta matemática es un tanto estática por las características históricas de la sociedad de entonces. Pero a mediados del siglo XVI, gracias al renacimiento científico producido, la humanidad entra en una etapa de cambios esenciales. Gracias a la física y al conocimiento de otras ramas, la matemática se hace dinámica, estudia los cambios existentes en la naturaleza; surge la etapa de las magnitudes variables, que fue grandemente estimulada por la creación de la geometría analítica y el cálculo infinitesimal. (Ortiz, 2005, p. 19).
La Matemática de las Magnitudes Variables: Surge con los trabajos de Newton, Descartes y Leibniz. La geometría analítica y el cálculo (diferencial e integral) fue el punto de partida de cambios en la matemática, pues se hizo capaz de resolver problemas provenientes del mundo físico. La humanidad entró a la era de las máquinas; se construyeron máquinas y barcos de vapor, surgieron las locomotoras. El ulterior desarrollo del cálculo permitió el surgimiento de las series y de las ecuaciones diferenciales, entre otras ramas del cálculo.
El inicio de este período se da entre los siglos XVI y XVII, época en que se investiga a la matemática de las magnitudes variables. Las ciencias naturales condujeron a las ciencias exactas a mayores exigencias y retos, lo cual permitió que las leyes generales de la naturaleza se estudiaran con nuevos modelos matemáticos. Este período termina a mediados del siglo XIX, época en que han de surgir progresos esenciales que ampliaron la visión del mundo de la matemática. Se introdujeron nuevas teorías; se clarificaron algunas inconsistencias en el cálculo para de este modo surgir a la luz el análisis matemático. También en el álgebra y en la geometría surgieron teorías revolucionarias.
El Renacimiento es uno de los grandes momentos de la historia universal que marcó el paso del mundo Medieval al mundo Moderno, este surge entre los siglos XIV y XVI. Fue un fenómeno muy complejo que impregnó todos los ámbitos incluyendo las matemáticas, en donde gracias al invento chino de la imprenta que llegó a Europa en 1450, pudo haber una mayor difusión del conocimiento matemático. Copiar los textos demandaba mucho tiempo y esfuerzo, razón por la cual en los tiempos antiguos existía solo una copia de la mayoría de los libros y estos reposaban en la biblioteca de Alejandría. Con la llegada de este invento hubo una gran difusión de los textos a las civilizaciones, y la gente podía aprender matemáticas, aunque estuvieran en lugares distantes. También, en el mismo periodo, hubo interés por las obras griegas de mayor complejidad, pero no de una manera muy extendida. La ausencia de traducciones latinas de autores como Apolonio, Arquímedes, o Pappus era una debilidad. Otro aporte importante al algebra viene dado por un autor prácticamente desconocido llamado Scipione del Ferro y es la fórmula para resolver las ecuaciones de tercer grado de la forma x3 + px = q. Su autor lo mantuvo en secreto, como arma con la que defenderse de posibles enemigos académicos, que lo podían desafiar a debates públicos. Entre otros aportes surgidos durante el renacimiento están:
1) En 1489 en Alemania se inventaron los signos + y – para la suma y la resta.
2) Se calculan ecuaciones de parábolas e hipérbolas, pero aún no se consideran muy importantes.
3) Leonardo da Vinci conectó también el arte con las matemáticas. En sus notas se encuentran cuadraturas, construcciones de polígonos regulares y razonamientos sobre centros de gravedad y sobre curvas de doble curvatura.
4) Galileo (1564-1642) demostró el movimiento uniforme, el uniformemente acelerado y la trayectoria de los proyectiles. Para ello desarrolló un nuevo método científico.
Debido a la cantidad de teorías nuevas, por la creación de nuevos métodos y nuevas ramas de la matemática, el campo de las aplicaciones de la matemática es muy amplio en la actualidad; es casi todo el conocimiento humano. La era del computador contribuye a que la información que se obtenga sobre las novedades abrume y se tenga que ser selectivo y puntual en los intereses matemáticos. Si bien esta etapa se inicia, más o menos, a mitad del siglo XIX, no se conoce cuando termina. Al inicio del siglo XX se producen profundos cambios en el álgebra, en la geometría y en el naciente análisis matemático. Se introdujeron revolucionarias ideas que ampliaron al universo matemático de entonces; como se sabe estas ampliaciones no niegan las verdades matemáticas anteriores, desde la época de los Antiguos. Así, 2 + 2 = 4 seguirá siendo cierto en el contexto de su formulación; la suma de las medidas de los ángulos en un triángulo seguirá siendo igual a 180 grados.
Durante la dinastía Shang, se utilizaba una escritura de 5.000 caracteres, incluyendo los numerales, registraban la cantidad de animales cazados, presos, objetivos militares eliminados, animales domésticos ofrecidos en sacrificio a los espíritus, fechas, registro de días etc. Este tipo de escritura forma un sistema multiplicativo de base diez, no tiene cero, comienza desde el 1, hasta el treinta mil. Para los números 1 al 10, 100, 1000, y 1000 había caracteres especiales, los demás números los formaban con la combinación de estos.
También crearon las varillas de contar, inicialmente no manejaban numerales escritos, sino un manojo de varillas de contar (de 14 cm y luego de 7 cm hechas en bambú) para desarrollar operaciones, por ello definieron las matemáticas como “jugar con bambú”. Con el uso de estas varillas trabajaban la notación decimal posicional, expresando los números del uno al nueve, la forma vertical y horizontal, el cero era blanco. En el inicio de la Era Cristiana incluyeron los números positivos y negativos, con varillas rojas y negras, los números negativos eran representados tachando su última columna. También realizaban operaciones aritméticas con las varillas de contar, las realizaban de izquierda a derecha.
En la india las matemáticas logran su importancia en la cultura occidental prerrenacentista con el legado de sus cifras, incluyendo el numeral 0 (cero). El mundo les debe el invento de la notación posicional empleando la cifra cero como valor nulo. Utilizaron un sistema de numeración de base 10 (con diez dígitos). El carácter operacional de las matemáticas hindúes iba a la par con una concepción general de numero irracional, pero abierto de un modo natural al negativo, con lo cual podían tomar en consideración los dos signos de la raíz cuadrada y las dos soluciones de la ecuación de segundo grado; dando paso al origen al algebra formal. La numeración india todavía es usada en India, Pakistán, Bangladesh, Nepal y Birmania se agrupa dos lugares decimales, en lugares de los tres habituales en casi todo el resto del mundo. La suma y la multiplicación se hacían en la india casi como se hacen hoy, la diferencia está en que la escritura de los números se hacía con el orden menor a la izquierda
Sus conocimientos matemáticos eran bastante avanzados, solucionaron problemas abordados como la inundación anual del Nilo, la construcción de pirámides, templos y el comercio. No se basaban en cálculos abstractos, sino en lo práctico. Fueron dominadores de los números y sus operaciones. Experimentaron los números naturales y los racionales positivos de numerador 1. Se aproximaron al valor de pi=3'16. Dieron solución a ecuaciones de segundo grado y raíces cuadradas aplicándolas a los problemas de áreas. También alcanzaron a ser potentes en la aritmética, la multiplicación y las fracciones ya que resolvían multiplicaciones a través de duplicaciones y sumas. Por otro lado, las divisiones las enfrentaban como multiplicación a la inversa. Su sistema de numeración fue sistema decimal (de base 10) por yuxtaposición.
Los Babilonios vivieron en Mesopotamia, en unos claros de tierras fértiles entre los ríos Tigris y Éufrates, hacia finales del milenio IV antes de Cristo, ellos desarrollaron una forma abstracta de escritura basada en símbolos estos fueron escritos en tablas de arcilla mojada cocidas al sol, en muchas de ellas se pueden evidenciar manifestaciones matemáticas, recíprocos, cuadrados, cubos, además de su sistema de numeración en base 60. Los Babilónicos fueron los pioneros en el sistema de medición del tiempo; introdujeron el sistema sexagesimal y lo hicieron dividiendo el día en 24 horas, cada hora en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Esta forma de contar ha sobrevivido hasta nuestros días. De igual forma, a ellos les debemos la división de la circunferencia en 360 grados y la de cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Contaban con un algoritmo para calcular raíces cuadradas, trabajaban con fracciones, resolvían ecuaciones de primer y segundo grado e incluso algunas ecuaciones cúbicas (de la forma n 3 + n 2 = a).
En el 300 d. C. surgen las primeras evidencias de que los mayas empleaban el Cero. Los símbolos que los mayas utilizaron para representar los números fueron solamente tres: el punto, para el 1; la línea horizontal, para el 5; y el dibujo de una concha, para el cero y su sistema de numeración era en base 20 (vigesimal). Produjeron observaciones astronómicas extremadamente precisas, sus diagramas de los movimientos de la Luna y los planetas son iguales o superiores a los de cualquier otra civilización trabajando a simple vista. Asimismo, como otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas descubrieron una medida exacta de la duración del año solar, mucho más exacta que la usada en Europa con el calendario gregoriano. Sin embargo, no usaron este modelo de duración en su calendario. En cambio, el calendario maya se basó en un año de duración exacta de 365 días, lo cual significa que el calendario tiene un error de un día cada cuatro años.
Mathematics may be defined as “the study of relationships among quantities, magnitudes and properties, and also of the logical operations by which unknown quantities, magnitudes, and properties may be deduced” (Microsoft Encarta Encyclopedia) or "the study of quantity, structure, space and change" (Wikipedia). Historically, it was regarded as the science of quantity, whether of magnitudes (as in geometry) or of numbers (as in arithmetic) or of the generalization of these two fields (as in algebra). Some have seen it in terms as simple as a search for patterns ("Story of Mathematics," n.d.).
During the 19th Century, however, mathematics broadened to encompass mathematical or symbolic logic, and thus came to be regarded increasingly as the science of relations or of drawing necessary conclusions ("Story of Mathematics," n.d.). The discipline of mathematics now covers - in addition to the more or less standard fields of number theory, algebra, geometry, analysis (calculus), mathematical logic and set theory, and more applied mathematics such as probability theory and statistics ("Story of Mathematics," n.d.).
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Las Matemáticas en la Antigüedad
El estudio de las matemáticas ha sido siempre de gran importancia para el progreso humano, gracias al conocimiento matemático el hombre adquirió una dimensión de un ser pensante y poseedor de ideas abstractas. Si se habla de matemática es de anotar que es una de las ciencias más antiguas, cuyas ideas de número y forma surgieron en las civilizaciones más antiguas de las que se tenga registro. En cada época, la matemática ayudó a consolidar la base de los conocimientos surgidos en la mente del ser humano, y debido a su exactitud, esta disciplina se encuentra en la cima del conocimiento del hombre.
Las matemáticas surgen en las ciencias naturales como resultado de la aplicación de las teorías matemáticas existentes a problemas prácticos y de la elaboración de nuevos métodos para su solución. Conforme la tecnología progresó se dieron nuevas posibilidades para resolver problemas complicados, como es el caso del surgimiento del computador a mediados del siglo XX. El proceso de creación de ideas y métodos matemáticos para la solución de problemas, inicia probablemente en tiempos remotos, cuando el hombre comenzó a usar instrumentos para conseguir medios de supervivencia.
Este período termina con el surgimiento de formas cualitativamente nuevas del pensamiento matemático, lo suficientemente maduras para construir modelos primarios de teorías matemáticas; lo cual sucede alrededor de los siglos VI-V a.C. en la Cultura Griega. Los datos materiales que se tienen de la antigüedad son escasos y se encuentran en proceso de enriquecimiento conforme se hagan nuevos descubrimientos. La historia de la matemática está grandemente relacionada con la historia de la humanidad. Las ideas primarias de forma, figura, área, entre otras, surgieron en el contacto del hombre con la naturaleza y se perfeccionaron con el transcurso de los siglos. De acuerdo a investigaciones, hacia el año 40,000 a.C., época del hombre de Neandertal, el hombre comenzó al poco tiempo de aquel entonces a usar un lenguaje con vestigios de un sistema numérico, así como se hicieron construcciones donde aparecen ciertas relaciones geométricas.
El hombre primitivo al observar su entorno fue concibiendo la idea de número, incluso antes de idear un lenguaje que le permitiera comunicarse. Probablemente fue distinguiendo una sensación cuantitativa al observar un árbol y al observar tres árboles; en su cuerpo pudo ir concibiendo la noción de número al observar los dedos de las manos y pies. El nacimiento de las civilizaciones antiguas se produce con la llegada de la Edad de los Metales, y surgen a orillas de los grandes ríos como el Éufrates, el Tigris, el Nilo y otros en India y China. En las culturas surgidas en las regiones geográficas mencionadas, la matemática había evolucionado lo suficiente para poder ser aplicada a situaciones concretas. Los babilonios y los egipcios tuvieron conocimientos avanzados para realizar trabajos de ingeniería que aún en la actualidad maravillan. De hecho, las matemáticas surgen en la mente humana, por ejemplo, la abstracción del número 1 llevó mucho tiempo al hombre.
La historia de la Matemática cuenta con períodos gloriosos en que la humanidad logró conquistas intelectuales y materiales de altísimo nivel. Ya se ha mencionado a la cultura griega de los siglos VI a III A.C. Otro periodo fue lo obtenido en los siglos XVII y XVIII con la creación de la geometría analítica y el cálculo. Según el matemático ruso A.N. Kolmogórov, en la historia de las matemáticas se distinguen los siguientes períodos.
Nacimiento de la matemática
Periodo que inicia en la civilización primitiva y se prolonga hasta los siglos VI y V antes de Cristo. Comprende la etapa de formación de las ideas más primitivas de número y forma hasta el momento en que la matemática adquiere cierta independencia, con objetivos y métodos propios. En esta etapa se formaron la aritmética y la geometría, que estaban altamente relacionadas. La matemática era una colección de reglas aisladas que provenían de la experiencia con el medio ambiente; no existía un sistema organizado ni unificado. Pertenecen a este periodo las culturas egipcia y babilónica.
Los números en el origen de las Matemáticas
Durante muchos miles de años, matemáticos de distintas culturas han creado una gran superestructura cimentada en los números: geometría, cálculo infinitesimal, dinámica, probabilidad, topología, caos, complejidad, entre otros. Muchos afirman que la disciplina se divide incluso en áreas mayores. En la actualidad, los matemáticos han investigado en los fundamentos lógicos de su disciplina, y han descubierto conceptos aún más esenciales que los números: lógica matemática, teoría de conjuntos, pero partiendo del concepto de número. Los números cuentan cosas, pero no son cosas; denotan símbolos, pero no son símbolos. Diferentes culturas usan diferentes símbolos para el mismo número (Stewart, 2007, p. 6-7).
La historia de las matemáticas empieza con la invención de símbolos escritos para denotar números. El familiar sistema de «dígitos» 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, para representar todos los números imaginables, por grandes que sean, es una invención relativamente reciente; nació hace unos 1.500 años, y su extensión a los «decimales», que permite representar números con alta precisión, no tiene más de 450 años. Los computadores, que introdujeron los cálculos matemáticos en la cultura, llevan existiendo tan sólo unos 50 años (Stewart, 2007, p. 6-7).
Sin números, la civilización tal como ahora se conoce no podría existir. En lugar de símbolos numerales, en la prehistoria, los contables utilizaban pequeñas fichas de arcilla. Unas eran conos, otras eran esferas y otras tenían forma de huevos. Había cilindros, discos y pirámides. La arqueóloga Denise Schhmandt-Besserat dedujo que estas fichas representaban productos básicos de la época. Las esferas de arcilla representaban fanegas de grano, los cilindros representaban animales, los huevos jarras de aceite. Las fichas más antiguas datan del 8.000 a.C. y fueron de uso común durante 5.000 años. El hueso de Ishango, con las pautas de marcas y los números que pueden representar Con el paso del tiempo, las fichas se hicieron más elaboradas y más especializadas. Un primer paso vital en el camino hacia los símbolos numerales, la aritmética y las matemáticas. Pero ese paso inicial fue bastante extraño, y parece dado por accidente. (Stewart, 2007, p. 6-9).
Las fichas tenían la ventaja de que los contables podían ordenarlas rápidamente para calcular cuántos animales o cuánto grano poseía o debía alguien. El inconveniente era que las fichas podían ser falsificadas. Así que para asegurar que nadie interfería en las cuentas, los contables guardaban las fichas en recipientes de arcilla, como si estuvieran precintadas. Podían descubrir rápidamente cuántas fichas, y de qué tipo, había dentro de un recipiente dado rompiéndolo. Siempre podían hacer un nuevo recipiente para un almacenamiento posterior (Stewart, 2007, p. 6-9). Sin embargo, romper repetidamente un recipiente y renovarlo era una forma muy poco eficaz de descubrir lo que había dentro, y los burócratas de la antigua Mesopotamia pensaron algo mejor. Inscribieron símbolos en el recipiente que hacían una lista de las fichas que contenía. Si había dentro siete esferas, los contables dibujaban siete esferas en la arcilla húmeda de la vasija. En algún momento los burócratas mesopotámicos se dieron cuenta de que, una vez que habían dibujado los símbolos en el exterior del recipiente, ya no necesitaban los contenidos, y ya no tenían que romper el recipiente para ver qué fichas había dentro. (Stewart, 2007, p. 8-9). Este paso obvio pero crucial dio lugar a un conjunto de símbolos numerales escritos, con diferentes formas para diferentes clases de bienes. Todos los demás símbolos numerales, incluidos los que hoy se utilizan, son los descendientes intelectuales de este antiguo artificio burocrático. De hecho, es posible que la sustitución de fichas por símbolos haya constituido también el nacimiento de la propia escritura (Stewart, 2007, p. 10).
Marcas de cuenta
Las marcas de arcilla no eran ni mucho menos los más antiguos ejemplos de escritura numeral, pero todos los ejemplos anteriores son poco más que rayas, «marcas de cuenta», que registran números como una serie de trazos (Stewart, 2007, p. 10). Las marcas más viejas conocidas de este tipo, 29 muescas grabadas en un hueso de pata de babuino, tienen unos 37.000 años. A falta de una máquina del tiempo, no hay modo de saber lo que representan las marcas, pero es posible hacer conjeturas informadas. Un mes lunar tiene 28 días, de modo es posible que las muescas estén relacionadas con las fases de la Luna. Otra antigua inscripción matemática, es el hueso de Ishango en Zaire, tiene 25.000 años (estimaciones previas de 6.000-9.000 años fueron revisadas en 1995). A primera vista las marcas a lo largo del borde del hueso parecen hechas casi al azar, pero quizá haya pautas ocultas. Una fila contiene los números primos entre 10 y 20, a saber, 11, 13, 17 y 19, cuya suma es 60 (Stewart, 2007, p. 10).
Los símbolos 1, 2, 3 se derivan, respectivamente, de un solo trazo, dos trazos horizontales unidos por una línea inclinada, y tres trazos horizontales unidos por una línea inclinada. Las marcas se convierten en numerales. El camino histórico desde las fichas de los contables a los numerales modernos es largo e indirecto (Stewart, 2007, p. 9-10). Con el paso de los milenios, los pueblos de Mesopotamia desarrollaron la agricultura, y su forma de vida nómada dio paso a un asentamiento permanente en una serie de ciudades-estado: Babilonia, Erido, entre otros. Los primitivos símbolos inscritos en tablillas de arcilla húmeda se transformaron en pictogramas (símbolos que representan palabras mediante imágenes simplificadas de lo que las palabras significan) y posteriormente los pictogramas se simplificaron y quedaron reducidos a un pequeño número de marcas con forma de cuña, que se imprimían en la arcilla utilizando un estilete seco con un extremo plano y afilado. Hacia el 3.000 a.C. los sumerios habían desarrollado una elaborada forma de escritura, ahora llamada cuneiforme: «en forma de cuña». (Stewart, 2007, p. 10-11).
La Matemática Elemental
Inicia entre los siglos VI y V A.C., con Tales de Mileto y Pitágoras, cuando la matemática pasa de ser un conocimiento solo al servicio de aplicaciones inmediatas, en donde existían resultados teóricos aislados y recetas numéricas, para posteriormente constituirse en una ciencia altamente intelectual. De hecho, los trabajos matemáticos de Arquímedes y de Apolonio son de alta profundidad matemática. Sin embargo, esta matemática es un tanto estática por las características históricas de la sociedad de entonces. Pero a mediados del siglo XVI, gracias al renacimiento científico producido, la humanidad entra en una etapa de cambios esenciales. Gracias a la física y al conocimiento de otras ramas, la matemática se hace dinámica, estudia los cambios existentes en la naturaleza; surge la etapa de las magnitudes variables, que fue grandemente estimulada por la creación de la geometría analítica y el cálculo infinitesimal. (Ortiz, 2005, p. 19).
La Matemática de las Magnitudes Variables: Surge con los trabajos de Newton, Descartes y Leibniz. La geometría analítica y el cálculo (diferencial e integral) fue el punto de partida de cambios en la matemática, pues se hizo capaz de resolver problemas provenientes del mundo físico. La humanidad entró a la era de las máquinas; se construyeron máquinas y barcos de vapor, surgieron las locomotoras. El ulterior desarrollo del cálculo permitió el surgimiento de las series y de las ecuaciones diferenciales, entre otras ramas del cálculo.
El inicio de este período se da entre los siglos XVI y XVII, época en que se investiga a la matemática de las magnitudes variables. Las ciencias naturales condujeron a las ciencias exactas a mayores exigencias y retos, lo cual permitió que las leyes generales de la naturaleza se estudiaran con nuevos modelos matemáticos. Este período termina a mediados del siglo XIX, época en que han de surgir progresos esenciales que ampliaron la visión del mundo de la matemática. Se introdujeron nuevas teorías; se clarificaron algunas inconsistencias en el cálculo para de este modo surgir a la luz el análisis matemático. También en el álgebra y en la geometría surgieron teorías revolucionarias.
Las Matemáticas en el Renacimiento
El Renacimiento es uno de los grandes momentos de la historia universal que marcó el paso del mundo Medieval al mundo Moderno, este surge entre los siglos XIV y XVI. Fue un fenómeno muy complejo que impregnó todos los ámbitos incluyendo las matemáticas, en donde gracias al invento chino de la imprenta que llegó a Europa en 1450, pudo haber una mayor difusión del conocimiento matemático. Copiar los textos demandaba mucho tiempo y esfuerzo, razón por la cual en los tiempos antiguos existía solo una copia de la mayoría de los libros y estos reposaban en la biblioteca de Alejandría. Con la llegada de este invento hubo una gran difusión de los textos a las civilizaciones, y la gente podía aprender matemáticas, aunque estuvieran en lugares distantes. También, en el mismo periodo, hubo interés por las obras griegas de mayor complejidad, pero no de una manera muy extendida. La ausencia de traducciones latinas de autores como Apolonio, Arquímedes, o Pappus era una debilidad. Otro aporte importante al algebra viene dado por un autor prácticamente desconocido llamado Scipione del Ferro y es la fórmula para resolver las ecuaciones de tercer grado de la forma x3 + px = q. Su autor lo mantuvo en secreto, como arma con la que defenderse de posibles enemigos académicos, que lo podían desafiar a debates públicos. Entre otros aportes surgidos durante el renacimiento están:
1) En 1489 en Alemania se inventaron los signos + y – para la suma y la resta.
2) Se calculan ecuaciones de parábolas e hipérbolas, pero aún no se consideran muy importantes.
3) Leonardo da Vinci conectó también el arte con las matemáticas. En sus notas se encuentran cuadraturas, construcciones de polígonos regulares y razonamientos sobre centros de gravedad y sobre curvas de doble curvatura.
4) Galileo (1564-1642) demostró el movimiento uniforme, el uniformemente acelerado y la trayectoria de los proyectiles. Para ello desarrolló un nuevo método científico.
La Matemática Contemporánea
Debido a la cantidad de teorías nuevas, por la creación de nuevos métodos y nuevas ramas de la matemática, el campo de las aplicaciones de la matemática es muy amplio en la actualidad; es casi todo el conocimiento humano. La era del computador contribuye a que la información que se obtenga sobre las novedades abrume y se tenga que ser selectivo y puntual en los intereses matemáticos. Si bien esta etapa se inicia, más o menos, a mitad del siglo XIX, no se conoce cuando termina. Al inicio del siglo XX se producen profundos cambios en el álgebra, en la geometría y en el naciente análisis matemático. Se introdujeron revolucionarias ideas que ampliaron al universo matemático de entonces; como se sabe estas ampliaciones no niegan las verdades matemáticas anteriores, desde la época de los Antiguos. Así, 2 + 2 = 4 seguirá siendo cierto en el contexto de su formulación; la suma de las medidas de los ángulos en un triángulo seguirá siendo igual a 180 grados.
Civilizaciones prominentes en la Historia Matemática
El origen del concepto de número en la civilización China se remonta a la Edad de Piedra, en la que utilizaban diversos tipos de nudos para tener presente asuntos que registraban números, esta hipótesis fue lanzada gracias a la aparición de dichos nudos en escritos antiguos. También se le atribuye la invención de la escuadra y el compás, ya que de la época de la dinastía Han, alrededor del siglo II d.C. se han descubierto grabados con personajes de las leyendas usando dichos instrumentos, así como también de la dinastía Xiá, se cree que con estos se realizaban figuras geométricas sencillas.
Su sistema de numeración
Durante la dinastía Shang, se utilizaba una escritura de 5.000 caracteres, incluyendo los numerales, registraban la cantidad de animales cazados, presos, objetivos militares eliminados, animales domésticos ofrecidos en sacrificio a los espíritus, fechas, registro de días etc. Este tipo de escritura forma un sistema multiplicativo de base diez, no tiene cero, comienza desde el 1, hasta el treinta mil. Para los números 1 al 10, 100, 1000, y 1000 había caracteres especiales, los demás números los formaban con la combinación de estos.
También crearon las varillas de contar, inicialmente no manejaban numerales escritos, sino un manojo de varillas de contar (de 14 cm y luego de 7 cm hechas en bambú) para desarrollar operaciones, por ello definieron las matemáticas como “jugar con bambú”. Con el uso de estas varillas trabajaban la notación decimal posicional, expresando los números del uno al nueve, la forma vertical y horizontal, el cero era blanco. En el inicio de la Era Cristiana incluyeron los números positivos y negativos, con varillas rojas y negras, los números negativos eran representados tachando su última columna. También realizaban operaciones aritméticas con las varillas de contar, las realizaban de izquierda a derecha.
Civilización Hindú
En la india las matemáticas logran su importancia en la cultura occidental prerrenacentista con el legado de sus cifras, incluyendo el numeral 0 (cero). El mundo les debe el invento de la notación posicional empleando la cifra cero como valor nulo. Utilizaron un sistema de numeración de base 10 (con diez dígitos). El carácter operacional de las matemáticas hindúes iba a la par con una concepción general de numero irracional, pero abierto de un modo natural al negativo, con lo cual podían tomar en consideración los dos signos de la raíz cuadrada y las dos soluciones de la ecuación de segundo grado; dando paso al origen al algebra formal. La numeración india todavía es usada en India, Pakistán, Bangladesh, Nepal y Birmania se agrupa dos lugares decimales, en lugares de los tres habituales en casi todo el resto del mundo. La suma y la multiplicación se hacían en la india casi como se hacen hoy, la diferencia está en que la escritura de los números se hacía con el orden menor a la izquierda
Uno de los aportes de la India a las matemáticas, consistió en la función equivalente al seno en trigonometría, para reemplazar las tablas de cuerdas griegas las más antiguas son las encontradas en los siddhantas y en el argabhata donde se dan los senos de los ángulos menores de 90 grados, se tomaba como radio 3,438 unidades y la circunferencias correspondían como 360*60= 21600 unidades, pero para los hindúes en ecuaciones P era la raíz cuadrada de 10.
Civilización Egipcia
Sus conocimientos matemáticos eran bastante avanzados, solucionaron problemas abordados como la inundación anual del Nilo, la construcción de pirámides, templos y el comercio. No se basaban en cálculos abstractos, sino en lo práctico. Fueron dominadores de los números y sus operaciones. Experimentaron los números naturales y los racionales positivos de numerador 1. Se aproximaron al valor de pi=3'16. Dieron solución a ecuaciones de segundo grado y raíces cuadradas aplicándolas a los problemas de áreas. También alcanzaron a ser potentes en la aritmética, la multiplicación y las fracciones ya que resolvían multiplicaciones a través de duplicaciones y sumas. Por otro lado, las divisiones las enfrentaban como multiplicación a la inversa. Su sistema de numeración fue sistema decimal (de base 10) por yuxtaposición.
Civilización Babilónica
Los Babilonios vivieron en Mesopotamia, en unos claros de tierras fértiles entre los ríos Tigris y Éufrates, hacia finales del milenio IV antes de Cristo, ellos desarrollaron una forma abstracta de escritura basada en símbolos estos fueron escritos en tablas de arcilla mojada cocidas al sol, en muchas de ellas se pueden evidenciar manifestaciones matemáticas, recíprocos, cuadrados, cubos, además de su sistema de numeración en base 60. Los Babilónicos fueron los pioneros en el sistema de medición del tiempo; introdujeron el sistema sexagesimal y lo hicieron dividiendo el día en 24 horas, cada hora en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Esta forma de contar ha sobrevivido hasta nuestros días. De igual forma, a ellos les debemos la división de la circunferencia en 360 grados y la de cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Contaban con un algoritmo para calcular raíces cuadradas, trabajaban con fracciones, resolvían ecuaciones de primer y segundo grado e incluso algunas ecuaciones cúbicas (de la forma n 3 + n 2 = a).
Civilización Maya
En el 300 d. C. surgen las primeras evidencias de que los mayas empleaban el Cero. Los símbolos que los mayas utilizaron para representar los números fueron solamente tres: el punto, para el 1; la línea horizontal, para el 5; y el dibujo de una concha, para el cero y su sistema de numeración era en base 20 (vigesimal). Produjeron observaciones astronómicas extremadamente precisas, sus diagramas de los movimientos de la Luna y los planetas son iguales o superiores a los de cualquier otra civilización trabajando a simple vista. Asimismo, como otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas descubrieron una medida exacta de la duración del año solar, mucho más exacta que la usada en Europa con el calendario gregoriano. Sin embargo, no usaron este modelo de duración en su calendario. En cambio, el calendario maya se basó en un año de duración exacta de 365 días, lo cual significa que el calendario tiene un error de un día cada cuatro años.
What is Mathematics?
During the 19th Century, however, mathematics broadened to encompass mathematical or symbolic logic, and thus came to be regarded increasingly as the science of relations or of drawing necessary conclusions ("Story of Mathematics," n.d.). The discipline of mathematics now covers - in addition to the more or less standard fields of number theory, algebra, geometry, analysis (calculus), mathematical logic and set theory, and more applied mathematics such as probability theory and statistics ("Story of Mathematics," n.d.).
The History of Mathematics: A review
The history of mathematics is nearly as old as humanity itself. Since antiquity, mathematics has been fundamental to advances in science, engineering, and philosophy. It has evolved from simple counting, measurement and calculation, and the systematic study of the shapes and motions of physical objects, through the application of abstraction, imagination and logic, to the broad, complex and often abstract discipline we know today ("Story of Mathematics," n.d.).
From the notched bones of early man to the mathematical advances brought about by settled agriculture in Mesopotamia and Egypt and the revolutionary developments of ancient Greece and its Hellenistic empire, the story of mathematics is a long and impressive one ("Story of Mathematics," n.d.).
The East carried on the baton, particularly China, India and the medieval Islamic empire, before the focus of mathematical innovation moved back to Europe in the late Middle Ages and Renaissance. Then, a whole new series of revolutionary developments occurred in 17th Century and 18th Century Europe, setting the stage for the increasing complexity and abstraction of 19th Century mathematics, and finally the audacious and sometimes devastating discoveries of the 20th Century ("Story of Mathematics," n.d.).
Excelente aporte a la historia del origen de las matemáticas... Felicitaciones por su blog, fue un placer leerlo.
ResponderEliminarCompañeros, este blog contiene información muy valiosa e interesante que evidencia la historia y evolución de las matemáticas hasta el momento.
ResponderEliminarEs llamativo e interesante, contiene aspectos importantes que han sido de gran ayuda para comprender mejor el estudio de las matemáticas.
Fabián Arrieta Rodríguez
Estudiante de Lic. en Matemáticas UNAD
Excelentes aportes, la información es clara y ordenada, es agradable leer sus aportes.
ResponderEliminarHola, estimados compañeros, muchísimas gracias por sus valiosos comentarios, me alegra mucho que hayan encontrado información interesante.
ResponderEliminarNos seguimos leyendo-María Ortega.
realizaron un buen trabajo se nota que investigaron, además que agregaron las referencias de donde tomaron esa información para hacer verifica, además creo que muestra información completa, clara y coherente a los lectores del tema. Por otra parte considero que deben tomar en cuenta lo que se solicita de colocar la información en una pestaña, esto permite una mejor organización y visibilidad. Les propongo de mi parte que le coloquen otro diseño que lo haga más representativo y llamativo.
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